В основном, независимо от платформы, все зависит от доверия.
Вы правы насчет подозрительности - все должны. Все программы, которые вы устанавливаете на своем компьютере или смартфоне, могут в какой-то степени вас обмануть. Многие люди не задумываются дважды (или даже один раз), прежде чем устанавливать на свой телефон приложение "OMG OMG Awesome Wallpaper", для которого требуется доступ к отправке текстовых сообщений, звонкам и т.д.
На смартфоне / планшете вы получаете некоторую степень безопасности, если только вы устанавливаете приложения только из установленных магазинов приложений (Apple App Store, Google Play и т.д.). Вам по-прежнему необходимо соблюдать осторожность при установке приложений и применять здравый смысл, когда приложение запрашивает разрешения, которые действительно не должны быть необходимыми для выполнения заявленной функции.
В этом конкретном случае я бы посчитал Dropbox достаточно надежным, и у меня нет причин подозревать, что они регистрируют ваши нажатия клавиш. Если вы не хотите использовать функцию скриншота, не включайте ее. Но я не вижу необходимости заходить так далеко, чтобы удалить Dropbox, если вы считаете это полезным.
Я хочу сказать, что практически любое приложение может получать персональные данные с вашего устройства и отправлять их обратно на сервер - независимо от платформы. Как правило, мошеннические приложения не запрашивают вас, прежде чем сделать это ;-).