Mac Mail открывает множество IMAP-соединений для каждого клиента. Если у вас много клиентов Mac Mail, открытых в локальной сети, возможно, что для всей вашей внутренней сети вы превысили ограничение, установленное сервером для вашего IP.
Насколько я знаю, нет способа настроить, сколько подключений IMAP создает Mac Mail. Вы можете закрыть (щелкнуть правой кнопкой мыши, выйти) другие клиенты Mac Mail в сети и посмотреть, сможет ли ваш клиент подключиться.
Для небольших провайдеров электронной почты вы можете попросить их увеличить лимит подключений IMAP.
https://discussions.apple.com/thread/2547839?start=0&tstart=0
http://support.google.com/mail/bin/answer.py?hl=en&answer=97150