Я нашел шрифт Emoji One, который поддерживает все смайлики вплоть до текущей версии Unicode, включая цветовые смайлики (встраивая SVG или что-то в этом роде).
Если шрифт указан, Firefox прекрасно поддерживает цветные эмодзи:

и Chrome и IE поддерживают его монохромные резервы:

но просто установить шрифт EmojiOneColor-SVGinOT.ttf
в Windows недостаточно, чтобы избавиться от ящиков, по- видимому, потому что другие шрифты предпочтительнее?
Частичные обходные пути:
Хром
Установка расширения Emoji Keyboard (2016) и включение «Автозамены» в настройках (по умолчанию включено):

производит цветные эмодзи в Chrome вплоть до Unicode 9. (Поддерживаемая версия Unicode указана на странице релизов eosrei/emojione-color-font ):

Автозамена работает на каждом сайте, но не в редактируемых текстовых полях.
Fire Fox
Firefox отображает символы с Arial независимо от того, что вы установили, что вы можете увидеть, установив расширение FontFinder.
Скрипт Greasemonkey добавит шрифт в тег body всех страниц, но это не решает проблему на нескольких, которые я тестировал. Он работает на нескольких, как superuser.com.
Изменение шрифта браузера по умолчанию на Emoji One, кажется, работает в большинстве случаев, но может иметь побочные эффекты. (Например, это также заменяет знак ™, чего не делает расширение Chrome.)
Расширение Emoji Everywhere работает, но, похоже, замедляет загрузку страницы по сравнению со шрифтом и поддерживает только Unicode 6.1.