Если старый компьютер достаточно свежий (например, последние десять лет или около того), то это не должно быть проблемой вообще. Критическая проблема - соединение хоста для жесткого диска; За последнее десятилетие SATA практически полностью заменила свою предшественницу PATA (IDE).
Если жесткий диск из старой системы является диском SATA, то вы просто должны быть в состоянии физически перенести его в новую систему, подключить кабели и быть готовым к работе. Настройте BIOS на загрузку с существующего диска новой системы, и вы либо сможете получить доступ ко всем своим файлам напрямую, либо сможете сделать это после того, как получите право собственности на них из новой системы (для этого требуется административный доступ).
Если жесткий диск из старой системы является диском PATA/IDE, все становится немного сложнее, потому что практически ни одна материнская плата не имеет портов PATA. В этом случае вам понадобится либо внешний корпус USB-PATA, либо плата контроллера PATA для установки в слот расширения на материнской плате вашей новой системы. Как только это будет сделано, процедура будет такой же: подключите диск, возможно, установите приоритет загрузки BIOS, возможно, вступите во владение, и все готово.
Имейте в виду, что жесткие диски не вечны. Если у старого за плечами несколько лет, было бы неплохо просто заменить его новым. В этом случае установка нового диска в новую систему и последующее копирование файлов из старой системы в новую систему по сети, вероятно, является лучшим подходом.
И получите надежные, регулярные резервные копии на месте. Я не могу подчеркнуть это достаточно, если данные вообще ценны или важны для вас.