Проблема звучит как стандартная проблема IMAP:
По умолчанию IMAP предназначен для поиска новой почты только в вашем почтовом ящике. Особенно, когда ваш сервер поддерживает команду IMAP push/idle, вы получаете мгновенное уведомление о новой почте в вашем INBOX.
Все остальные папки не отмечены по умолчанию. В Thunderbird вы можете выборочно добавлять папки, Thunderbird должен проверять наличие новой почты (см. Диалоговое окно свойств папки) или вы можете указать, проверять ли все папки, установив
mail.check_all_imap_folders_for_new = true
в редакторе конфигурации. В любом случае дополнительная папка будет проверяться только каждые x минут, в зависимости от настроек учетной записи IMAP, которые вы указали.