IP-адрес вашего сервера, который видят внешние сайты (например, whatismyip, ...), - это IP-адрес, который ваш сервер получает из таблицы маршрутизации.
$ ip route
default via x.x.x.x dev ethX ...
10.0.0.0/16 dev ethY ...
....
Если сайт, который вы пытаетесь подключить, имеет свой IP-адрес в подсети, указанной в таблице маршрутизации, исходный (ваш) и исходящий интерфейсы будут взяты из этого конкретного маршрута.
Например: whatismyip.net IP-адрес 10.0.0.1, когда вы отправляете трафик на него, ваш сервер будет использовать интерфейс ethY и IP-адрес ethY.
В противном случае, если сайт не соответствует какой-либо подсети, используется маршрут по умолчанию. В этом примере сервер будет отправлять трафик через интерфейс ethX с IP-адресом ethX в качестве источника.
В вашем контексте кажется, что ваш маршрут по умолчанию через eth0.
Чтобы использовать другой интерфейс /IP:
Вы можете указать для какой-то команды исходящий интерфейс, а затем ваш исходный IP, например.
ping -I ethY whatever.net
ping -I eth0.Y whatever.net
curl --interface eth0.Y wtfismyip.com/text
или вы можете добавить новый маршрут для MY_REMOTE_IP, который обеспечит использование данного интерфейса или исходного IP-адреса при взаимодействии с ним. В приведенном выше примере MY_SECOND_IP - это IP-адрес интерфейса ethY.
$ ip route add MY_REMOTE_IP dev ethY src MY_SECOND_IP
$ ip route add MY_REMOTE_IP dev eth0.Y src MY_SECOND_IP
В противном случае в некоторых командах вы можете указать исходный IP-адрес, например.
ssh -b MY_SECOND_IP user@MY_REMOTE_IP