Драйверы HDMI предоставляются графической картой, но, честно говоря, это звучит как физическая проблема.  Разъемы HDMI, с которыми я работал, чувствовали, что они обеспечивают довольно прочное соединение, поэтому либо у вас плохо сделан кабель HDMI, который слишком мал, либо плохо сделан разъем HDMI, который слишком велик.
- Я бы сначала попробовал другие кабели.  Если вы попробуете 5 кабелей, и все они чувствуют, что они примерно такие же свободные, как у вас сейчас, переходите к следующему шагу.  (Вам не нужно покупать 5 кабелей; просто одолжите у друзей или отнесите свой ноутбук в ближайший магазин, который их несет, и попробуйте их.) 
- Визуально осмотрите домкрат (при необходимости с увеличительным стеклом и фонариком).  Ищите любые признаки того, что он был изогнут.  (Возможно ли, что вы затянули кабель, когда он был подключен?  Это может деформировать домкрат.)  Если вы найдете что-нибудь, вам, возможно, придется взять ноутбук для обслуживания, хотя вы сможете аккуратно согнуть домкрат обратно в форму. 
- Если ни один из кабелей не работает должным образом и вы не видите никаких признаков деформации, возможно, вы имеете дело с плохо спроектированным компонентом ноутбука.  Если ноутбук находится на гарантии, вы можете сделать гарантийный иск, чтобы починить его.  Возможно, вы сможете настроить что-либо для работы (например, обмотать изоленту вокруг штекера, чтобы она лучше подходила - аккуратно, чтобы на контакты не попал клей).  Или, если вам пригодится Dremel и паяльник, вы можете заменить гнездо HDMI на лучшее. 
Позолота для защиты от коррозии.  Это неплохо, но со слабым разъемом это не поможет.  (Это не стоит наценки за 50 $ все же.)