Как отметил @Frank Thomas в своем комментарии, Chrome и Firefox, вероятно, изначально не поддерживают этот сценарий, однако не должно быть слишком сложно заставить его работать. Вы можете назначить вашей сетевой карте несколько IP-адресов, однако браузеры не будут привязывать конкретный IP-адрес, в итоге они будут использовать только IP-адрес / маршрут по умолчанию.
Чтобы один браузер использовал не IP-адрес по умолчанию, я бы настроил облегченный прокси-сервер на той же машине. Большинство прокси-серверов должны поддерживать привязку к определенному IP-адресу, затем вы можете настроить второй браузер на использование прокси-сервера, и трафик должен исходить с этого IP-адреса.