Возможно ли, что каждая машина сообщает серверу свое имя хоста, и этот сервер позволяет ему пинговать эту машину по имени хоста?
Да, конечно, это возможно, вам просто нужно настроить сервер ;-)
В общем, если вы хотите настроить сервер, чтобы сделать это для вас, вы должны настроить сервер для предоставления двух сервисов, DHCP и DNS для вашей локальной сети, на одном компьютере. Таким образом, каждый запрос DHCP должен сообщать имя машины, а сервер будет хранить таблицу клиентов DHCP. Статические IP-адреса не требуют DHCP, поэтому они не будут зарегистрированы в списке клиентов DHCP. Вот почему я всегда использую зарезервированные IP-адреса, а не статические: машинам с MAC-адресами в отдельном списке DHCP-сервером всегда присваивается один и тот же IP-адрес, так что они работают как статические адреса, за исключением того, что они сообщают свои имена сервер.
Распространенные программы для этого широко доступны (DHCP+BIND или DNSMasq, который делает обе вещи). Некоторые потребительские маршрутизаторы уже настроены для выполнения этой работы, например, те, которые работают с программным обеспечением DD-WRT или OpenWRT или TomatoWRT, но большинство из них этого не делают.
Альтернативой является использование WINS, реализации Microsoft службы имен NetBIOS, которая существует внутри пакета Samba также на машинах * Nix, так что все, что вам нужно сделать, это активировать ее. Или вы можете использовать mdns (который Apple называет Bonjour), чтобы сделать то же самое для машин * Nix. По сути, активируя эти программы (программы, а не протоколы) на машинах * Nix, вы сможете достичь желаемого даже без центрального сервера.