Абсолютно возможно.  Для этого вам нужно правильно настроить маршруты.  Вы хотите, чтобы ваш маршрут по умолчанию проходил через ваш eth1, поэтому ваша таблица маршрутизации должна выглядеть так:
$ /sbin/route
Kernel IP routing table
Destination     Gateway         Genmask         Flags Metric Ref    Use Iface
10.10.19.0      *               255.255.255.0   U     0      0        0 eth0
192.168.1.0     *               255.255.255.0   U     0      0        0 eth1
default         192.168.1.1     0.0.0.0         UG    0      0        0 eth1
Windows будет выглядеть примерно так же (с разным форматированием, конечно), используя команду route print .
Вы можете настроить маршруты динамически с помощью команд route на любой платформе.  Я не уверен, какие параметры конфигурации вам нужно установить один по умолчанию (а другой, как не по умолчанию, очевидно)... будет редактировать с этой информацией.
Редактировать: если вы работаете с сетевыми менеджерами GNOME или KDE, найдите параметр "установить этот интерфейс по умолчанию" в конфигурации для вашего устройства eth1 .  
Если вы настраиваете /etc/network/interfaces вручную, взгляните на примеры в этом HOWTO.  В частности, опция up позволяет вам запускать команды после появления интерфейса.  В вашем случае вам может понадобиться использовать это для запуска команды route-delete на дополнительном маршруте по умолчанию или для запуска добавления маршрута, если ни один из ваших интерфейсов не установил себя в качестве маршрута по умолчанию:
# example /etc/network/interfaces
# replace the IP addresses in the route-del and route-add commands below
# with those appropriate to your network
auto eth0
iface eth0 inet dhcp
    up route del default gw 10.10.19.1
    # runs a route-delete if dhcp adds a default gateway for this interface
auto eth1
iface eth1 inet dhcp
    up route add default gw 192.168.1.1
    # runs a route-add if dhcp neglects to add a default gateway for this interface