Как проверить сайт, может ли он выступать в качестве прокси-сервера HTTP или нет?
Я предполагаю, что вы имеете в виду прямой (анонимный) прокси.
Как указано в этой статье Apache о злоупотреблении прокси-сервером, обычно вы настраиваете свой браузер на использование удаленного веб-сервера в качестве прокси-сервера по умолчанию. Другой вариант - использовать что-то вроде telnet для проверки соединения, например:
telnet yoursite.example.com 80
GET http://www.yahoo.com/ HTTP/1.1
Host: www.yahoo.com
Если вы не получите запрошенный контент (например, yahoo.com), этот сервер, скорее всего, не сможет использоваться для запросов прокси.
Должны ли веб-сайты самим реализовывать функции прокси-сервера, чтобы можно было использовать веб-сайт в качестве прокси-сервера?
Обычно это так, да.
Иногда неправильная конфигурация или уязвимости безопасности могут привести к случаям, когда сайт может (ненадлежащим образом) использоваться для пересылки случайных запросов, но большинство веб-сайтов принимают меры против такого рода злоупотреблений.